QR分解
QR分解は、の実行列
を、
次の直交行列
と
の上三角行列Rとの積に分解する操作を指します。なおこの分解は必ず成立します[1]。QR分解は線形最小二乗法を解いたり、[4]曰く行列
の固有値を求めるために使用されます。その計算手法としては、ハウスホルダー法やグラムシュミット分解などがあります。[3]によると、QR分解はLU分解に比べて計算量は増えるものの、安定した解を求められるそうです。
また[2]によると、幾何学的に直交行列は回転を表します。確かに回転行列をとすると、
となります。また上三角行列は拡大・縮小＆スキュー（せん断）を表します。このことから、行列
による線形変換の回転とスケーリング、スキューの成分を取り出す働きがあると言えます。
