gggggraziegrazie

graizegrazieさんのやったこと、学んだことを記録する雑記帳です

Lpノルムとマンハッタン距離、ノルム

${L_p}$ ノルムとは、 ${n}$ 次元のベクトル ${\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,\cdots, x_n)}$ および ${1\leq p\leq \infty}$ なる ${p}$ に対して、
${\sqrt[p]{ x^p_1 + ... + x^p_n }}$
で表され、 ${\| \overrightarrow{x}_p \|}$ と表記する[1]。

そもそもノルムとは、

任意のベクトル ${x, \ y}と定数[tex:{a}$ があるとき、下記の３つの性質を満たす関数のこと。

${\|\overrightarrow{x}\|=0\iff \overrightarrow{x}=0}$
${\|a\overrightarrow{x}\|=|a|\|\overrightarrow{x}\|}$
${\|\overrightarrow{x}\|+\|\overrightarrow{y}\|\geq \|\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\|}$ （三角不等式）

マンハッタン距離

${p=1}$ の時、つまり ${L_1}$ ノルムはマンハッタン距離とも言われる。マンハッタンが碁盤目状になっており、２地点間の距離を北に○ブロック、東に△ブロックという表現することに由来している。べき乗しないため外れ値に対してロバストだ[3][4]、と書かれているが、イマイチ理由はわからない。。数式では下記の様に表現する。
${|x_1|+|x_2|+\cdots +|x_n|}$

f:id:graziegrazie:20170827111208p:plain
Fig. マンハッタン距離の概念図[2]

ユークリッド距離

${p=2}$ の時、つまり ${L_2}$ ノルムはユークリッド距離とも言われ、２点間の直線距離を表す。一般的な表現のため詳細は割愛。

参考文献

[1]ノルムの意味とL1，L2，L∞ノルム | 高校数学の美しい物語
[2]
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Manhattan_distance_bgiu.png/250px-Manhattan_distance_bgiu.png
[3]
Manhattan距離 - 機械学習の「朱鷺の杜Wiki」
[4]
clustering - What is the benefit of using Manhattan distance for K-medoid than using Euclidean distance? - Cross Validated